Satellitenbahnen: Umlaufzeit berechnen

Ein Satellit auf einer Bahn um die Erde fällt ständig, aber er verfehlt dabei die Erde. Auf ihn wirkt nur die Gravitationskraft der Erde, die ihn zum Erdmittelpunkt zieht. Weil er gleichzeitig mit sehr hoher Geschwindigkeit seitlich fliegt, krümmt sich seine Flugbahn genau so stark wie die Erdoberfläche. Er fällt um die Erde herum.

Newton hat sich das mit einer Kanonenkugel auf einem hohen Berg vorgestellt. Je schneller die Kugel abgefeuert wird, desto weiter fliegt sie, bevor sie auf der Erde aufschlägt. Ab etwa 7,9 Kilometern pro Sekunde, der ersten kosmischen Geschwindigkeit, krümmt sich die Bahn so wie die Erde, und die Kugel kehrt nie zurück. Reibung mit der Luft lassen wir dabei außer Acht.

Physikalisch ist die Gravitationskraft in diesem Fall die Zentripetalkraft, die den Satelliten auf der Kreisbahn hält. Beide Kräfte müssen gleich groß sein. Aus dieser Gleichsetzung lassen sich Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit berechnen, und genau das machen wir in dieser Lektion.

Die Internationale Raumstation ISS fliegt in etwa 420 Kilometern Höhe. Dort hat sie eine Bahngeschwindigkeit von etwa 7,7 Kilometern pro Sekunde und braucht rund 93 Minuten für einen Umlauf. Die Besatzung erlebt deshalb etwa 16 Sonnenaufgänge am Tag. Auch auf der ISS wirkt die Gravitation noch mit etwa 8,6 Meter pro Sekunde zum Quadrat, die Astronauten fallen gemeinsam mit der Station und fühlen sich daher schwerelos.

GPS-Satelliten kreisen in etwa 20200 Kilometern Höhe und benötigen für einen Umlauf fast 12 Stunden. Geostationäre Satelliten, etwa für Fernsehen und Wetterbeobachtung, fliegen in etwa 35800 Kilometern Höhe. Ihre Umlaufzeit beträgt genau einen Sterntag. Weil sie sich über dem Äquator in derselben Richtung bewegen wie die Erde, stehen sie von der Erde aus gesehen scheinbar still.

Im Vergleich der drei Beispiele siehst du das Muster: Je höher die Bahn, desto größer die Umlaufzeit und desto kleiner die Geschwindigkeit. Auch der Mond folgt diesem Gesetz. Er ist etwa 384400 Kilometer entfernt, fliegt mit rund 1,0 Kilometern pro Sekunde und braucht etwa 27,5 Tage für einen Umlauf.

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Flughöhe und Bahnradius. In allen Formeln steht der Abstand zum Erdmittelpunkt, nicht die Höhe über dem Boden. Wer bei der ISS mit 420 Kilometern rechnet, statt mit 6791 Kilometern, erhält eine völlig unsinnige Geschwindigkeit. Addiere immer den Erdradius.

Der zweite Fehler sind die Einheiten. Die Gravitationskonstante hat Meter und Kilogramm in ihrer Einheit, also musst du den Radius in Meter einsetzen. Gibst du 6791 statt 6,791 · 10⁶ ein, liegt das Ergebnis um den Faktor 1000 daneben. Prüfe dein Ergebnis mit dem Hausverstand: Satelliten in Erdnähe fliegen mit rund 7 bis 8 km/s.

Ein dritter Irrtum ist die Vorstellung, ein schwerer Satellit brauche eine andere Geschwindigkeit als ein leichter. Die Masse des Satelliten kürzt sich in der Rechnung heraus. Ein Kleinsatellit und eine Raumstation fliegen in gleicher Höhe mit gleicher Geschwindigkeit. Ebenso falsch ist die Aussage, Astronauten seien schwerelos, weil es dort keine Gravitation gebe. Sie ist dort fast so groß wie am Boden, die Astronauten fallen nur mit der Station zusammen.

Satelliten sind aus dem Alltag nicht wegzudenken. GPS-Satelliten bestimmen deine Position, Wettersatelliten liefern Bilder für die Vorhersage, und Kommunikationssatelliten übertragen Fernsehprogramme und Telefonate. Für die genaue Ortung braucht dein Smartphone das Signal von mindestens vier GPS-Satelliten gleichzeitig, weil es neben der Position auch die genaue Uhrzeit bestimmen muss.

Für die Klausur gehst du immer gleich vor. Erstens bestimmst du den Bahnradius aus Höhe und Erdradius. Zweitens rechnest du alles in Grundeinheiten um. Drittens berechnest du die Geschwindigkeit mit v² gleich G mal M durch r und viertens die Umlaufzeit aus dem Umfang durch die Geschwindigkeit. Notiere die Konstanten G und M im Kopf oder suche sie in der Formelsammlung.

Wenn nach der Höhe einer Bahn bei gegebener Umlaufzeit gefragt ist, nutzt du das dritte keplersche Gesetz und ziehst am Ende den Erdradius ab. Prüfe stets die Größenordnung: Die Umlaufzeit in Erdnähe liegt bei etwa anderthalb Stunden, und sie wächst mit der Höhe. Ein Ergebnis von wenigen Sekunden oder von Jahren ist sicher ein Rechenfehler.