Zusammengesetzter Dreisatz
Der zusammengesetzte Dreisatz löst Aufgaben, bei denen sich zwei Größen gleichzeitig verändern und gemeinsam eine dritte Größe bestimmen. In dieser Lektion lernst du, wie du jede Größe einzeln auf ihren Zusammenhang prüfst und die beiden Rechenschritte richtig kombinierst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 7
- Thema: Sachrechnen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Zusammengesetzter Dreisatz: wenn zwei Größen zusammenwirken
Beim zusammengesetzten Dreisatz hängen drei Größen voneinander ab, aber zwei davon verändern sich gleichzeitig. Anders als beim einfachen Dreisatz reicht es nicht, nur einen Zusammenhang zu prüfen, sondern du musst für jede der beiden veränderlichen Größen getrennt entscheiden, ob sie proportional oder umgekehrt proportional wirkt.
Solche Aufgaben tauchen häufig im Alltag auf: Wenn mehr Arbeiter an einer Baustelle arbeiten, sinkt die Bauzeit, aber wenn die Mauer länger wird, steigt die Bauzeit wieder. Beide Effekte zusammen ergeben die tatsächlich benötigte Zeit.
Der zusammengesetzte Dreisatz baut vollständig auf dem einfachen Dreisatz auf. Du löst die Aufgabe im Grunde zweimal hintereinander, einmal für jede veränderliche Größe, und verbindest die Ergebnisse zu einer Gesamtrechnung.
Beide Zusammenhänge einzeln bestimmen
Zuerst überlegst du für jede der beiden veränderlichen Größen getrennt, wie sie sich auf die gesuchte Größe auswirkt, während die jeweils andere Größe konstant bleibt. Wirkt eine Größe proportional, multiplizierst du bei dieser Größe, wirkt sie umgekehrt proportional, dividierst du.
Praktisch rechnest du meist über eine gemeinsame Zwischeneinheit, zum Beispiel Arbeitertage oder Maschinenstunden: g ist gleich a mal b, wobei a und b die beiden Ausgangsgrößen sind und g die Gesamtleistung beschreibt, die für die Aufgabe zur Verfügung steht.
Anschließend teilst du diese Gesamtleistung g durch die neue Größe c, um die gesuchte vierte Größe x zu erhalten: x ist gleich g durch c. Dieses zweistufige Vorgehen funktioniert unabhängig davon, welche der beiden Größen zuerst verändert wird.
- a
- erste Ausgangsgröße, z. B. Anzahl der Arbeiter
- b
- zweite Ausgangsgröße, z. B. Anzahl der Tage
- c
- neue Größe, für die x gesucht wird
- x
- gesuchte Größe
| Situation | Zusammenhang |
|---|---|
| Mehr Arbeiter, gleiche Mauer | umgekehrt proportional zur Bauzeit |
| Längere Mauer, gleiche Arbeiterzahl | proportional zur Bauzeit |
| Mehr Maschinen, gleiche Laufzeit | proportional zur Produktionsmenge |
| Mehr Produkte, gleiche Maschinenzahl | proportional zur Laufzeit |
Beispiel 1: Bauarbeiter und Bauzeit
6 Arbeiter bauen eine Mauer in 8 Tagen. Wie lange brauchen 4 Arbeiter für dieselbe Mauer?
Gegeben:
- 6 Arbeiter brauchen 8 Tage
- gesucht: Zeit für 4 Arbeiter
Gesucht:
Anzahl der Tage für 4 ArbeiterLösung:
- Zusammenhang prüfen: Weniger Arbeiter bedeuten mehr Zeit, also ist der Zusammenhang umgekehrt proportional.
- Gesamtleistung berechnen: 6 Arbeiter mal 8 Tage ergibt 48 Arbeitertage für die ganze Mauer.
- Auf 4 Arbeiter umrechnen: 48 Arbeitertage geteilt durch 4 Arbeiter ergibt 12 Tage.
- Ergebnis prüfen: 4 Arbeiter sind weniger als 6, deshalb ist eine längere Zeit als 8 Tage plausibel.
4 Arbeiter brauchen 12 Tage für dieselbe Mauer. Die Kontrolle über die Arbeitertage bestätigt das Ergebnis: 4 mal 12 ergibt wieder 48 Arbeitertage.
Beispiel 2: Maschinen und Produktionsmenge
3 Maschinen produzieren in 5 Stunden 600 Teile. Wie viele Teile produzieren 5 Maschinen in 5 Stunden?
Gegeben:
- 3 Maschinen produzieren in 5 Stunden 600 Teile
- gesucht: Teile für 5 Maschinen in 5 Stunden
Gesucht:
Anzahl der produzierten TeileLösung:
- Zusammenhang prüfen: Mehr Maschinen produzieren bei gleicher Zeit mehr Teile, also ist der Zusammenhang proportional.
- Auf 1 Maschine umrechnen: 600 Teile geteilt durch 3 Maschinen ergibt 200 Teile pro Maschine in 5 Stunden.
- Auf 5 Maschinen umrechnen: 200 Teile mal 5 Maschinen ergibt 1000 Teile.
- Ergebnis prüfen: 5 Maschinen sind mehr als 3, deshalb ist eine größere Teilezahl als 600 plausibel.
5 Maschinen produzieren in 5 Stunden 1000 Teile. Da hier nur eine Größe, nämlich die Maschinenzahl, verändert wird, genügt in diesem Beispiel bereits ein einfacher proportionaler Dreisatz.
Typische Fehler beim zusammengesetzten Dreisatz
Der häufigste Fehler ist, für beide Größen automatisch denselben Zusammenhang anzunehmen. Bei Arbeitern und Bauzeit ist der Zusammenhang umgekehrt proportional, bei Mauerlänge und Bauzeit dagegen proportional, obwohl beide Größen dieselbe Bauzeit betreffen.
Ein zweiter Fehler ist, die Gesamtleistung wie Arbeitertage oder Maschinenstunden zu vergessen und stattdessen direkt mit den Ausgangswerten zu rechnen. Ohne den Zwischenschritt verrechnet man leicht die falschen Zahlen miteinander.
Ein dritter Fehler ist, das Ergebnis am Ende nicht auf Plausibilität zu prüfen. Wird eine Größe kleiner, muss bei umgekehrter Proportionalität das Ergebnis größer werden, und ein unplausibles Ergebnis zeigt meist einen Rechenfehler.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe dir für jede der beiden veränderlichen Größen einen kurzen Satz auf, etwa „mehr Arbeiter, weniger Zeit“, bevor du mit dem Rechnen beginnst. So vermeidest du, die Zusammenhänge zu vertauschen.
Nutze immer eine gemeinsame Zwischengröße wie Arbeitertage, Maschinenstunden oder Personenkilometer, um beide Ausgangsgrößen sinnvoll zu einem einzigen Wert zu verrechnen.
Überschlage das Ergebnis am Ende grob im Kopf: Wird eine Größe verdoppelt oder halbiert, sollte sich das Ergebnis in eine nachvollziehbare Richtung bewegen.
Jetzt bist du dran!
8 Arbeiter bauen einen Zaun in 6 Tagen. Wie viele Tage brauchen 4 Arbeiter für denselben Zaun?
Das Wichtigste in Kürze
- Beim zusammengesetzten Dreisatz wirken zwei veränderliche Größen gleichzeitig auf eine dritte Größe.
- Jede der beiden Größen wird einzeln daraufhin geprüft, ob sie proportional oder umgekehrt proportional wirkt.
- Eine gemeinsame Zwischengröße wie Arbeitertage verbindet beide Ausgangsgrößen zu einem Wert.
- Die gesuchte Größe ergibt sich, indem die Zwischengröße durch die neue dritte Größe geteilt wird.
- Ein Plausibilitätscheck am Ende zeigt, ob das Ergebnis in die richtige Richtung geht.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Zusammengesetzter Dreisatz
- Was ist ein zusammengesetzter Dreisatz?
- Ein zusammengesetzter Dreisatz ist eine Aufgabe, bei der sich zwei Größen gleichzeitig verändern und gemeinsam eine dritte Größe bestimmen. Jede der beiden Größen wird einzeln auf ihren Zusammenhang geprüft und anschließend werden beide Rechenschritte kombiniert.
- Wie erkennt man, ob ein Zusammenhang proportional oder umgekehrt proportional ist?
- Man überlegt, was passiert, wenn eine Größe größer wird, während die andere gleich bleibt: Wird das Ergebnis dann auch größer, ist der Zusammenhang proportional, wird es kleiner, ist er umgekehrt proportional.
- Was ist der Unterschied zwischen einfachem und zusammengesetztem Dreisatz?
- Beim einfachen Dreisatz verändert sich nur eine Größe, beim zusammengesetzten Dreisatz verändern sich zwei Größen gleichzeitig. Der zusammengesetzte Dreisatz besteht im Kern aus zwei nacheinander ausgeführten einfachen Dreisätzen.
- Warum rechnet man beim zusammengesetzten Dreisatz über eine Zwischengröße?
- Die Zwischengröße, etwa Arbeitertage oder Maschinenstunden, verbindet die beiden Ausgangsgrößen zu einem einzigen Wert, der die gesamte verfügbare Leistung beschreibt. Erst dieser Wert lässt sich sinnvoll auf die neue Größe umrechnen.
- In welcher Klasse lernt man den zusammengesetzten Dreisatz?
- Der zusammengesetzte Dreisatz wird meist in Klasse 7 unterrichtet, nachdem der einfache Dreisatz sowie proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen bereits bekannt sind.
- Wie prüft man das Ergebnis eines zusammengesetzten Dreisatzes?
- Man setzt das Ergebnis wieder in die Zwischengröße ein und prüft, ob sich derselbe Wert wie am Anfang ergibt. Zusätzlich hilft ein Plausibilitätscheck, ob das Ergebnis größer oder kleiner als erwartet ausfällt.
- Kann man den zusammengesetzten Dreisatz auch mit mehr als zwei veränderlichen Größen anwenden?
- Ja, das Prinzip lässt sich auf mehr als zwei Größen erweitern, indem man jede zusätzliche Größe genauso einzeln prüft und in die Zwischenrechnung mit einbezieht. In der Schule bleibt es meist bei zwei Größen.
- Wozu braucht man den zusammengesetzten Dreisatz im Alltag?
- Der zusammengesetzte Dreisatz hilft bei Planungsaufgaben, etwa wie lange ein Bauprojekt mit einer bestimmten Arbeiterzahl dauert oder wie viele Maschinen für eine bestimmte Produktionsmenge nötig sind.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.