Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz
Grundwert Prozentwert Prozentsatz sind die drei Grundgrößen der Prozentrechnung, und aus zwei bekannten Größen lässt sich die dritte immer berechnen. In dieser Lektion lernst du, was diese drei Begriffe genau bedeuten und wie du mit den passenden Formeln jede der drei Größen bestimmst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 7
- Thema: Prozentrechnung
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Grundwert Prozentwert Prozentsatz: die drei Bausteine der Prozentrechnung
Grundwert Prozentwert Prozentsatz sind die drei Größen, die in jeder Prozentaufgabe vorkommen. Der Grundwert ist die Ausgangsmenge, von der ein Anteil betrachtet wird, der Prozentsatz gibt an, wie viele Hundertstel des Grundwerts gemeint sind, und der Prozentwert ist der tatsächliche Anteil in der jeweiligen Einheit.
Diese drei Größen begegnen dir in vielen Alltagssituationen: Beim Einkaufen berechnest du mit ihnen einen Rabatt, in der Schule den Anteil richtiger Antworten in einer Klassenarbeit, und in Nachrichten liest du Prozentangaben zu Wahlergebnissen oder Preissteigerungen.
Sind zwei der drei Größen bekannt, lässt sich die dritte immer berechnen. Deshalb ist es wichtig, in jeder Aufgabe zuerst zu erkennen, welche zwei Größen gegeben sind und welche gesucht wird, bevor man die passende Formel auswählt.
Formeln für Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz
Der Prozentwert berechnet sich, indem man den Grundwert mit dem Prozentsatz multipliziert und durch 100 teilt. Diese Formel nutzt man zum Beispiel, um einen Rabattbetrag aus dem ursprünglichen Preis und dem Rabattsatz zu berechnen.
Der Prozentsatz berechnet sich, indem man den Prozentwert durch den Grundwert teilt und mit 100 multipliziert. Diese Formel nutzt man, um herauszufinden, wie viel Prozent ein bestimmter Anteil von einer Gesamtmenge ausmacht.
Der Grundwert berechnet sich, indem man den Prozentwert durch den Prozentsatz teilt und mit 100 multipliziert. Diese Formel wird gebraucht, wenn man aus einem bekannten Anteil auf die ursprüngliche Gesamtmenge zurückschließen will.
- W
- Prozentwert (der Anteil in der Einheit)
- G
- Grundwert (die Ausgangsmenge)
- p
- Prozentsatz (Anzahl der Hundertstel)
| Gesucht | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Prozentwert | Grundwert mal Prozentsatz durch 100 | 300 mal 15 durch 100 = 45 |
| Prozentsatz | Prozentwert durch Grundwert mal 100 | 45 durch 300 mal 100 = 15 Prozent |
| Grundwert | Prozentwert durch Prozentsatz mal 100 | 45 durch 15 mal 100 = 300 |
Beispiel 1: Grundwert berechnen
Ein Rabatt von 45 Euro entspricht 15 Prozent des ursprünglichen Preises. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?
Gegeben:
- Prozentwert: 45 Euro
- Prozentsatz: 15 Prozent
Gesucht:
Der Grundwert (ursprünglicher Preis)Lösung:
- Werte notieren: Prozentwert 45 Euro, Prozentsatz 15 Prozent, Grundwert gesucht.
- Formel wählen: Grundwert gleich Prozentwert durch Prozentsatz mal 100.
- Prozentsatz einsetzen: 45 durch 15 ergibt 3.
- Mit 100 multiplizieren: 3 mal 100 ergibt 300.
Der ursprüngliche Preis, also der Grundwert, betrug 300 Euro. Die Probe bestätigt: 15 Prozent von 300 Euro sind 45 Euro.
Beispiel 2: Prozentsatz berechnen
In einer Klasse mit 25 Schülern haben 20 Schüler die letzte Mathearbeit bestanden. Wie viel Prozent sind das?
Gegeben:
- Grundwert: 25 Schüler
- Prozentwert: 20 Schüler
Gesucht:
Der Prozentsatz der bestandenen ArbeitenLösung:
- Werte notieren: Grundwert 25, Prozentwert 20, Prozentsatz gesucht.
- Formel wählen: Prozentsatz gleich Prozentwert durch Grundwert mal 100.
- Werte einsetzen: 20 durch 25 ergibt 0,8.
- Mit 100 multiplizieren: 0,8 mal 100 ergibt 80.
80 Prozent der Schüler haben die Mathearbeit bestanden. Die Probe bestätigt: 80 Prozent von 25 Schülern sind 20 Schüler.
Typische Fehler bei Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz
Der häufigste Fehler ist, Grundwert und Prozentwert zu verwechseln, also die Gesamtmenge mit dem Anteil zu vertauschen. Das führt zu einem völlig falschen Prozentsatz oder Grundwert.
Ein zweiter Fehler ist, beim Berechnen des Grundwerts die falsche Formel zu verwenden, etwa den Prozentwert mit dem Prozentsatz zu multiplizieren, statt durch ihn zu teilen.
Ein dritter Fehler ist, das Prozentzeichen beim Rechnen falsch zu behandeln, indem man vergisst, den Prozentsatz durch 100 zu teilen oder das Ergebnis am Ende wieder mit 100 zu multiplizieren.
Tipps für die Klassenarbeit
Lies die Aufgabe zuerst genau durch und markiere, welche zwei Größen gegeben sind und welche gesucht wird, bevor du eine Formel einsetzt.
Merke dir die drei Formeln als eine Familie: Prozentwert gleich Grundwert mal Prozentsatz durch 100, und die beiden anderen Formeln ergeben sich durch Umstellen dieser Grundformel.
Prüfe dein Ergebnis am Ende immer mit der Probe: Setze deine berechnete Größe wieder in die Grundformel ein und kontrolliere, ob sich die ursprünglich gegebenen Werte ergeben.
Jetzt bist du dran!
Berechne den Prozentwert: Wie viel sind 20 Prozent von 150 Euro?
Das Wichtigste in Kürze
- Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz sind die drei Grundgrößen jeder Prozentaufgabe.
- Der Prozentwert berechnet sich aus Grundwert mal Prozentsatz durch 100.
- Der Prozentsatz berechnet sich aus Prozentwert durch Grundwert mal 100.
- Der Grundwert berechnet sich aus Prozentwert durch Prozentsatz mal 100.
- Sind zwei der drei Größen bekannt, lässt sich die dritte immer berechnen.
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Häufige Fragen zu Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz
- Was sind Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz?
- Der Grundwert ist die Ausgangsmenge, der Prozentsatz gibt an, wie viele Hundertstel des Grundwerts gemeint sind, und der Prozentwert ist der tatsächliche Anteil in der jeweiligen Einheit, etwa in Euro oder Stück.
- Wie berechnet man den Prozentwert?
- Der Prozentwert wird berechnet, indem man den Grundwert mit dem Prozentsatz multipliziert und das Ergebnis durch 100 teilt. Das entspricht der Formel Prozentwert gleich Grundwert mal Prozentsatz durch 100.
- Wie berechnet man den Grundwert?
- Der Grundwert wird berechnet, indem man den Prozentwert durch den Prozentsatz teilt und das Ergebnis mit 100 multipliziert. Diese Formel wird zum Beispiel benutzt, um aus einem Rabattbetrag den ursprünglichen Preis zu ermitteln.
- Wie berechnet man den Prozentsatz?
- Der Prozentsatz wird berechnet, indem man den Prozentwert durch den Grundwert teilt und das Ergebnis mit 100 multipliziert. So findet man zum Beispiel heraus, wie viel Prozent eine bestimmte Menge von einer Gesamtmenge ausmacht.
- In welcher Klasse wird Grundwert Prozentwert Prozentsatz behandelt?
- Diese drei Grundgrößen der Prozentrechnung werden meist in Klasse 7 eingeführt, im Anschluss an die grundlegende Prozentrechnung und als Vorbereitung auf Zinsrechnung und prozentuale Veränderungen.
- Was ist der Unterschied zwischen Prozentwert und Prozentsatz?
- Der Prozentsatz ist eine reine Verhältniszahl ohne Einheit, angegeben in Prozent, während der Prozentwert die tatsächliche Menge in der jeweiligen Einheit ist, etwa 45 Euro oder 20 Schüler.
- Wie erkennt man in einer Textaufgabe, welche Größe gesucht ist?
- Man sucht nach den Signalwörtern: Steht eine Prozentangabe direkt bei einer bekannten Menge, ist oft der Prozentwert oder Grundwert gesucht. Wird gefragt, wie viel Prozent etwas ausmacht, ist der Prozentsatz gesucht.
- Warum reichen zwei bekannte Größen aus, um die dritte zu berechnen?
- Weil alle drei Größen über eine feste Formel miteinander verbunden sind. Aus dieser einen Grundformel lassen sich durch Umstellen alle drei möglichen Formeln herleiten, sodass jede fehlende Größe berechnet werden kann.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.