Körpernetze

Denk an eine leere Müslischachtel, die du auseinanderfaltest, um sie flach zum Altpapier zu legen. Genau das ist ein Körpernetz: die aufgeklappte, flache Version eines dreidimensionalen Körpers. Faltest du das Netz wieder zusammen, entsteht erneut der ursprüngliche Körper, in diesem Fall ein Quader.

Bei einem Würfel, wie ihn ein Spielwürfel oder ein Zuckerstück hat, besteht das Netz immer aus sechs gleich großen Quadraten, weil ein Würfel genau sechs gleich große Seitenflächen hat. Diese sechs Quadrate lassen sich auf viele verschiedene Arten anordnen und trotzdem zu einem gültigen Würfel zusammenfalten – insgesamt gibt es genau elf verschiedene Anordnungen, die funktionieren.

Körpernetze sind nicht nur eine geometrische Spielerei, sondern werden in der Praxis ständig gebraucht: Verpackungsdesigner entwerfen Kartons als Netze, bevor sie gedruckt und gefaltet werden, und auch beim Basteln von Papiermodellen zeichnest du zuerst das Netz, bevor du es zusammenklebst.

Damit ein Netz beim Zusammenfalten wirklich einen Würfel ergibt, müssen mehrere Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Erstens braucht es genau sechs Flächen, denn ein Würfel hat sechs Seiten. Zweitens müssen alle sechs Flächen gleich große Quadrate sein, sonst passt beim Falten nichts sauber zusammen.

Drittens darf sich beim gedanklichen Zusammenfalten keine Fläche mit einer anderen überlappen, und es darf auch keine Lücke entstehen. Das ist der Teil, der am meisten Vorstellungsvermögen braucht: Du musst dir vorstellen, wie sich jede Fläche entlang ihrer Kanten nach oben klappt, bis am Ende ein geschlossener Würfel entsteht.

Von den insgesamt vielen denkbaren Anordnungen aus sechs Quadraten sind nur elf tatsächlich gültige Würfelnetze. Anordnungen, bei denen zum Beispiel vier Quadrate in einer Reihe liegen und die restlichen zwei ungünstig angehängt sind, führen beim Falten oft dazu, dass sich zwei Flächen doppelt überlagern und eine Seite offen bleibt.

Der häufigste Fehler ist, ein Netz für gültig zu halten, obwohl sich beim gedanklichen Falten zwei Flächen überlappen würden. Das passiert oft bei Anordnungen mit vier Quadraten in einer Reihe und zwei weiteren Quadraten an ungünstigen Stellen, wo sich beim Falten zwei Seiten doppelt übereinanderlegen und dafür eine andere Seite offen bleibt.

Ein zweiter Fehler entsteht beim Berechnen der Oberfläche: Manche zählen nur vier statt sechs Flächen, weil sie Deckel und Boden vergessen, oder sie verwechseln die Fläche eines Quadrats mit seinem Umfang. Die Fläche eines Quadrats ist Seitenlänge mal Seitenlänge, nicht die vierfache Seitenlänge.

Ein dritter Fehler ist die Annahme, jedes Netz aus sechs Quadraten ergebe automatisch einen Würfel. Das stimmt nicht: Von den vielen denkbaren Anordnungen aus sechs gleich großen Quadraten sind nur elf tatsächlich faltbar, alle anderen führen zu Überlappungen oder offenen Lücken.

Wenn du in der Klassenarbeit ein Netz auf dem Papier vor dir hast, zeichne kleine Pfeile an die Kanten, die beim Zusammenfalten aufeinandertreffen sollen. So verlierst du beim gedanklichen Falten nicht den Überblick, welche Kante an welche andere Kante stößt.

Eine gute Faustregel: Suche zuerst die Fläche, die im Netz allein zwischen zwei anderen Flächen liegt – sie wird beim Falten meist zum Boden oder zur Rückwand, die anderen Flächen klappen sich von dort aus wie ein aufgeklapptes Buch nach oben und zur Seite.

Für die Oberflächenberechnung gilt immer: Addiere einfach die Flächeninhalte aller Teile im Netz, unabhängig davon, wie kompliziert die Anordnung aussieht. Da beim Falten keine Fläche verloren geht, entspricht die Summe der Netzflächen exakt der Oberfläche des Körpers.