Brüche vergleichen
In dieser Lektion lernst du, wie du zwei Brüche miteinander vergleichst, auch wenn sie unterschiedliche Nenner haben. Du übst, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und daran das richtige Vergleichszeichen zu finden. Am Ende kannst du Brüche wie 3/4 und 5/6 sicher der Größe nach ordnen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Welcher Bruch ist größer?
Bei ganzen Zahlen ist es leicht zu sehen, welche Zahl größer ist: 7 ist größer als 4, das erkennst du sofort. Bei Brüchen ist das nicht so einfach, denn ein Bruch besteht aus zwei Zahlen, dem Zähler und dem Nenner. Ob 3/4 größer oder kleiner als 5/6 ist, siehst du den Zahlen nicht direkt an.
Ein verbreiteter Fehler ist zu glauben, dass ein Bruch mit größerem Nenner automatisch kleiner ist, weil ein Ganzes dann in mehr Teile zerlegt wird. Das stimmt aber nur, wenn die Zähler gleich sind. Bei unterschiedlichen Zählern und Nennern reicht dieser einfache Blick nicht mehr aus.
Um zwei Brüche zuverlässig zu vergleichen, brauchst du eine gemeinsame Grundlage. Am häufigsten bringst du beide Brüche auf denselben Nenner, den sogenannten Hauptnenner. Sobald beide Brüche denselben Nenner haben, kannst du einfach die Zähler vergleichen, denn dann werden gleich große Teile eines Ganzen betrachtet.
Zwei Methoden zum Vergleichen
Es gibt zwei gängige Methoden, um Brüche zu vergleichen. Die erste und universellste Methode ist, beide Brüche auf den Hauptnenner zu bringen, also das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner zu finden und beide Brüche entsprechend zu erweitern.
Die zweite Methode funktioniert nur, wenn die Zähler bereits gleich sind oder leicht gleich gemacht werden können. Haben zwei Brüche denselben Zähler, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere Bruch, weil das Ganze dann in weniger, aber größere Teile zerlegt wird.
Auf Hauptnenner bringen
Zähler und Nenner beider Brüche sind unterschiedlich.
Beispiele
- 3/4 und 5/6 auf 12tel bringen
- 2/3 und 3/5 auf 15tel bringen
Signalwörter
- unterschiedliche Nenner
- unterschiedliche Zähler
- funktioniert bei jedem Bruchpaar
Zähler gleich machen
Die Zähler sind bereits gleich oder lassen sich leicht angleichen.
Beispiele
- 1/3 und 1/4 direkt vergleichen
- 2/5 und 2/7 direkt vergleichen
Signalwörter
- gleicher Zähler
- kleine, einfache Nenner
- spart Rechenschritte
| Merkmal | Hauptnenner-Methode | Zähler-Methode |
|---|---|---|
| Wann sinnvoll | immer anwendbar | nur bei gleichem oder leicht anpassbarem Zähler |
| Rechenaufwand | Hauptnenner und Erweiterung nötig | meist kein Erweitern nötig |
| Regel danach | größerer Zähler gewinnt | kleinerer Nenner gewinnt |
Beispiel 1: Vergleich über den Hauptnenner
Vergleiche 3/4 und 5/6. Welcher Bruch ist größer?
Gegeben:
- erster Bruch: 34
- zweiter Bruch: 56
Gesucht:
das passende Vergleichszeichen zwischen 3/4 und 5/6Lösung:
- Hauptnenner finden: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist 12.
- 34 mit 3 erweitern: 3/4912.
- 56 mit 2 erweitern: 5/61012.
- Zähler vergleichen: 9 ist kleiner als 10, also ist 9/12 kleiner als 10/12.
3/4 < 5/6, denn nach dem Erweitern auf den Hauptnenner 12 zeigt sich, dass 9/12 kleiner ist als 10/12. Der Hauptnenner macht die beiden Brüche direkt vergleichbar, weil beide dieselbe Größe der Teile beschreiben.
Beispiel 2: Vergleich über den gleichen Zähler
Vergleiche 1/3 und 1/5. Welcher Bruch ist größer?
Gegeben:
- erster Bruch: 13
- zweiter Bruch: 15
Gesucht:
das passende Vergleichszeichen zwischen 1/3 und 1/5Lösung:
- Zähler vergleichen: Beide Brüche haben denselben Zähler 1.
- Nenner vergleichen: 3 ist kleiner als 5.
- Regel anwenden: Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.
1/3 > 1/5, denn ein Ganzes, das in 3 Teile zerlegt wird, hat größere Stücke als ein Ganzes, das in 5 Teile zerlegt wird. Diese Methode spart hier das Erweitern auf einen Hauptnenner.
Typische Fehler
Ein häufiger Fehler ist, allein den Nenner zu betrachten und zu glauben, ein größerer Nenner bedeute automatisch einen kleineren Bruch, unabhängig vom Zähler. Das stimmt nur bei gleichem Zähler. Bei 3/4 und 5/6 hat 5/6 sowohl den größeren Zähler als auch den größeren Nenner, trotzdem ist 5/6 der größere Bruch.
Ein zweiter Fehler passiert beim Erweitern: Wird nur der Zähler mit der Erweiterungszahl multipliziert und der Nenner vergessen, entsteht ein völlig falscher Bruch. Zähler und Nenner müssen beim Erweitern immer mit derselben Zahl multipliziert werden.
Ein dritter Fehler ist, einen zu großen gemeinsamen Nenner zu wählen, der zwar funktioniert, aber unnötig große Zahlen erzeugt. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zu finden, spart Rechenaufwand und verringert die Fehleranfälligkeit.
Tipps für die Klassenarbeit
In der Klassenarbeit lohnt es sich, zuerst kurz zu prüfen, ob die Zähler bereits gleich sind. Ist das der Fall, sparst du dir das Erweitern und kannst direkt über den Nenner entscheiden. Sind Zähler und Nenner unterschiedlich, führt der Weg über den Hauptnenner am sichersten zum Ziel.
Schreibe beim Erweitern immer sichtbar auf, mit welcher Zahl du Zähler und Nenner multiplizierst. So erkennst du selbst und die Lehrkraft, wie der neue Bruch entstanden ist, und Flüchtigkeitsfehler fallen leichter auf.
Nutze bei Unsicherheit zusätzlich eine kurze Überschlagsrechnung: Wandle beide Brüche näherungsweise in Dezimalzahlen um. 3/4 entspricht ungefähr 0,75 und 5/6 entspricht ungefähr 0,83, das bestätigt, dass 5/6 der größere Bruch ist.
Jetzt bist du dran
Welches Zeichen gehört zwischen 2/3 und 3/5?
Noch nicht. Der Hauptnenner von 3 und 5 ist 15. 2/3 wird zu 10/15, 3/5 wird zu 9/15. Weil 10 größer als 9 ist, gilt 2/3 > 3/5.
Das nimmst du mit
- Brüche mit unterschiedlichen Nennern lassen sich am sichersten über den Hauptnenner vergleichen.
- Haben zwei Brüche denselben Nenner, entscheidet der größere Zähler über den größeren Bruch.
- Haben zwei Brüche denselben Zähler, entscheidet der kleinere Nenner über den größeren Bruch.
- Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner immer mit derselben Zahl multipliziert werden.
- Eine Überschlagsrechnung mit Dezimalzahlen kann das Ergebnis eines Bruchvergleichs zusätzlich bestätigen.
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Häufige Fragen zu Brüche vergleichen
- Wie vergleiche ich zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
- Bringe beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner, indem du sie passend erweiterst. Haben beide Brüche denselben Nenner, entscheidet allein der Zähler, welcher Bruch größer ist.
- Was ist der Hauptnenner und wie finde ich ihn?
- Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner. Du findest ihn, indem du die Vielfachen beider Nenner auflistest und das kleinste gemeinsame Vielfache heraussuchst, zum Beispiel 12 für die Nenner 4 und 6.
- Warum ist bei gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer?
- Ein kleinerer Nenner bedeutet, dass ein Ganzes in weniger, dafür aber größere Teile zerlegt wird. Bei gleichem Zähler nimmst du also von den größeren Teilen dieselbe Anzahl, wodurch der Gesamtwert größer wird.
- Kann ich Brüche auch vergleichen, indem ich sie in Dezimalzahlen umwandle?
- Ja, das funktioniert als zusätzliche Kontrolle gut. Du teilst dafür den Zähler durch den Nenner und vergleichst die entstehenden Dezimalzahlen. Für die genaue Lösung in der Klassenarbeit ist der Vergleich über den Hauptnenner aber meist verlangt.
- In welcher Klasse werden Brüche vergleichen behandelt?
- Das Vergleichen von Brüchen wird typischerweise in der fünften oder sechsten Klasse eingeführt, nachdem Erweitern und Kürzen von Brüchen bereits bekannt sind. Es ist eine wichtige Grundlage für spätere Themen wie Bruchrechnung und Prozentrechnung.
- Was mache ich, wenn beide Brüche nach dem Erweitern gleich groß sind?
- Sind die Zähler nach dem Erweitern auf den Hauptnenner gleich, sind auch die ursprünglichen Brüche gleich groß, auch wenn sie unterschiedlich aussehen. Dann setzt du das Gleichheitszeichen zwischen die beiden Brüche.
- Muss ich immer den kleinsten gemeinsamen Nenner verwenden?
- Nötig ist es nicht, jeder gemeinsame Nenner funktioniert für den Vergleich. Der kleinste gemeinsame Nenner erspart dir aber unnötig große Zahlen und macht die Rechnung übersichtlicher und weniger fehleranfällig.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Brüche erweitern und kürzen
- Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfachesin Arbeit