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Das Koordinatensystem

In dieser Lektion lernst du, wie ein Koordinatensystem aufgebaut ist und wie du Punkte eintragen und ablesen kannst. Du erfährst, warum die Reihenfolge der Koordinaten so wichtig ist.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 5
  • Thema: Geometrie
  • Dauer: 12 Min
  • Niveau: Einfach
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Jeder Punkt hat eine Adresse

Beim Spiel „Schiffe versenken“ nennst du ein Feld wie „B4“, und dein Gegner weiß sofort, welches Kästchen gemeint ist. Genau so funktioniert ein Koordinatensystem: Es gibt jedem Punkt auf einem Blatt eine eindeutige Adresse aus zwei Zahlen. Auch Stadtpläne, Landkarten, Schachbretter und Tabellenprogramme nutzen dieses Prinzip, damit man eine Stelle beschreiben kann, ohne mit dem Finger darauf zu zeigen.

Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlenstrahlen, die senkrecht aufeinanderstehen. Die waagerechte Achse heißt x-Achse, die senkrechte y-Achse. Sie treffen sich im Ursprung, dem Punkt (0 | 0). Um einen Punkt einzutragen, gehst du vom Ursprung zuerst nach rechts und danach nach oben. Beide Zahlen zusammen nennt man die Koordinaten des Punktes.

Damit die Abstände stimmen, müssen die Achsen gleichmäßig beschriftet sein. Im Heft wählt man meist 1 Einheit = 1 cm, also zwei Kästchen. Schreibe die Zahlen an die Striche und nicht in die Lücken dazwischen, und vergiss die Pfeilspitzen und die Namen x und y an den Achsenenden nicht. Ein sauber gezeichnetes System spart dir später viel Ärger beim Ablesen.

Ein typischer Fehler ist das Vertauschen der beiden Zahlen. Der Punkt (2 | 5) liegt an einer ganz anderen Stelle als (5 | 2). Merke dir die Reihenfolge mit dem Satz: „Erst gehst du über den Flur, dann die Treppe hoch.“ Die erste Zahl gehört also immer zur x-Achse, die zweite zur y-Achse. Auch das Alphabet hilft: x kommt vor y.

b = 1+2+1
Ein Koordinatensystem mit x-Achse, y-Achse und eingezeichneten Punkten
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So schreibst du einen Punkt

Ein Punkt wird mit einem Großbuchstaben benannt. In Klammern folgen seine beiden Koordinaten, getrennt durch einen senkrechten Strich. Die x-Koordinate sagt, wie weit du nach rechts gehst, die y-Koordinate, wie weit nach oben. Der Strich trennt die Zahlen deutlich, damit man 1 | 2 nicht mit der Zahl 12 verwechselt.

Liegt ein Punkt auf der x-Achse, ist seine y-Koordinate 0, zum Beispiel (4 | 0). Liegt er auf der y-Achse, ist seine x-Koordinate 0, zum Beispiel (0 | 3). Haben zwei Punkte dieselbe x-Koordinate, liegen sie genau übereinander, bei gleicher y-Koordinate liegen sie auf einer Höhe nebeneinander.

Beim Ablesen gehst du den umgekehrten Weg: Vom Punkt aus ziehst du gedanklich eine Linie senkrecht nach unten zur x-Achse und liest dort die erste Zahl ab. Dann gehst du waagerecht nach links zur y-Achse und liest die zweite Zahl ab.

P (x | y)
P
Name des Punktes
x
x-Koordinate: Schritte nach rechts
y
y-Koordinate: Schritte nach oben
KoordinatenLage
(0 | 0)im Ursprung
(4 | 0)auf der x-Achse
(0 | 3)auf der y-Achse
(3 | 4)rechts und oberhalb des Ursprungs
Wo liegt der Punkt, je nach Koordinaten?
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Beispiel: Einen Punkt eintragen

Trage den Punkt A (3 | 4) in ein Koordinatensystem ein.

Gegeben:

  • A (3 | 4)

Gesucht:

Lage des Punktes A

Lösung:

  1. Lies die Koordinaten: x = 3 ist die erste Zahl, y = 4 die zweite.
  2. Starte im Ursprung (0 | 0), wo sich beide Achsen kreuzen.
  3. Gehe 3 Einheiten nach rechts entlang der x-Achse. Bei 1 Einheit = 1 cm sind das 6 Kästchen.
  4. Gehe von dort 4 Einheiten nach oben parallel zur y-Achse, also 8 Kästchen.
  5. Markiere die Stelle mit einem kleinen Kreuz und schreibe A daneben.
  6. Kontrolle: Senkrecht unter dem Kreuz liegt auf der x-Achse die 3, waagerecht links davon auf der y-Achse die 4.

Der Punkt A liegt 3 Einheiten rechts und 4 Einheiten über dem Ursprung. Die Kontrolle durch Zurückablesen bestätigt, dass die Reihenfolge nicht vertauscht wurde, sonst läge der Punkt bei (4 | 3).

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Beispiel: Einen Punkt ablesen

Ein Punkt D ist in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Bestimme seine Koordinaten.

Gegeben:

  • D liegt 6 Einheiten rechts und 3 Einheiten über dem Ursprung

Gesucht:

Koordinaten von D

Lösung:

  1. Ziehe vom Punkt D gedanklich eine senkrechte Linie nach unten zur x-Achse.
  2. Lies dort die x-Koordinate ab: x = 6.
  3. Ziehe vom Punkt D gedanklich eine waagerechte Linie nach links zur y-Achse.
  4. Lies dort die y-Koordinate ab: y = 3.
  5. Schreibe beide Zahlen zusammen als Punkt auf: D (6 | 3).

Der Punkt D hat die Koordinaten (6 | 3). Ablesen ist der umgekehrte Weg zum Eintragen: Statt vom Ursprung zum Punkt zu gehen, gehst du vom Punkt zurück zu den Achsen.

So liest du die Koordinaten eines eingezeichneten Punktes systematisch ab.
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Typische Fehler

Der häufigste Fehler ist das Vertauschen von x- und y-Koordinate. Der Punkt (2 | 5) liegt an einer ganz anderen Stelle als (5 | 2), auch wenn dieselben Zahlen vorkommen. Merke dir deshalb immer: erst rechts, dann oben, x kommt vor y wie im Alphabet.

Ein zweiter Fehler ist ein ungenau gezeichnetes Koordinatensystem. Fehlen gleichmäßige Abstände zwischen den Strichen, verschieben sich alle danach eingetragenen Punkte. Verwende deshalb immer ein Geodreieck oder kariertes Papier und markiere jede Einheit gleich groß.

Ein dritter Fehler ist, beim Ablesen die falsche Richtung zu nehmen. Manche ziehen die Hilfslinie vom Punkt aus zuerst zur y-Achse statt zur x-Achse und vertauschen dadurch die Reihenfolge der abgelesenen Werte. Ziehe die Hilfslinien deshalb immer erst senkrecht nach unten, dann waagerecht nach links.

Vertauschte Koordinaten wie (2 | 5) und (5 | 2) beschreiben zwei verschiedene Punkte.
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Tipps für die Klassenarbeit

Zeichne dein Koordinatensystem immer zuerst grob mit Bleistift vor, bevor du die Achsen fest nachzeichnest und beschriftest. So kannst du die Größe noch anpassen, falls ein Punkt sonst außerhalb des Blattes läge.

Kontrolliere jeden eingetragenen Punkt durch Ablesen: Passt die abgelesene x- und y-Koordinate wieder zur ursprünglichen Angabe? Diese kurze Probe dauert nur Sekunden und deckt vertauschte Koordinaten sofort auf, bevor du mit einer falschen Zeichnung weiterarbeitest.

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Jetzt bist du dran!

Aufgabe 1 von 3

Wie kommst du vom Ursprung zum Punkt B (5 | 2)?

Wie kommst du vom Ursprung zum Punkt B (5 | 2)?
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Das Wichtigste in Kürze

  • Die waagerechte Achse ist die x-Achse, die senkrechte die y-Achse.
  • Die Achsen schneiden sich im Ursprung (0 | 0).
  • Ein Punkt wird geschrieben als P (x | y).
  • Erst nach rechts, dann nach oben – nie die Reihenfolge vertauschen.
  • Typischer Fehler: (2 | 5) und (5 | 2) für denselben Punkt halten.
Alle Regeln zum Koordinatensystem auf einen Blick.

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Häufige Fragen zu Das Koordinatensystem

Was ist der Unterschied zwischen x-Achse und y-Achse?
Die x-Achse verläuft waagerecht von links nach rechts, die y-Achse senkrecht von unten nach oben. Die x-Koordinate eines Punktes sagt dir, wie weit er rechts vom Ursprung liegt, die y-Koordinate, wie hoch er liegt. Eine Eselsbrücke: Das y hat einen langen senkrechten Strich nach unten, genau wie die senkrechte Achse.
Was kommt zuerst, x oder y?
Immer zuerst x, dann y. Im Punkt (3 | 7) ist 3 die x-Koordinate und 7 die y-Koordinate. Du gehst also zuerst 3 nach rechts und dann 7 nach oben. Merken kannst du dir das mit dem Alphabet, in dem x vor y steht, oder mit dem Satz „Erst über den Flur, dann die Treppe hoch.“
Was ist der Ursprung im Koordinatensystem?
Der Ursprung ist der Punkt, an dem sich x-Achse und y-Achse schneiden. Er hat die Koordinaten (0 | 0) und wird oft mit dem Buchstaben O bezeichnet. Von hier aus beginnst du jeden Weg, wenn du einen Punkt einträgst, und von hier aus werden alle Abstände nach rechts und nach oben gezählt.
Wie zeichne ich ein Koordinatensystem richtig ins Heft?
Zeichne mit dem Geodreieck eine waagerechte und eine senkrechte Linie, die sich im rechten Winkel schneiden. Setze an die Enden Pfeilspitzen und schreibe x und y daran. Markiere dann gleichmäßige Striche, meist alle 1 cm, und beschrifte sie mit 1, 2, 3 und so weiter. Achte darauf, dass beide Achsen genug Platz für alle Punkte haben.
In welcher Klasse lernt man das Koordinatensystem?
Das Koordinatensystem mit positiven Zahlen lernst du meist in Klasse 5. In Klasse 6 oder 7 kommen negative Koordinaten hinzu, dann gibt es vier Bereiche, die Quadranten heißen. Später brauchst du das Koordinatensystem ständig, zum Beispiel für Funktionen, Geraden und Parabeln. Es lohnt sich also, die Grundlagen jetzt sicher zu können.
Wie lese ich die Koordinaten eines eingezeichneten Punktes ab?
Ziehe vom Punkt aus eine gedachte senkrechte Linie nach unten zur x-Achse und lies dort die erste Zahl ab. Ziehe anschließend eine gedachte waagerechte Linie nach links zur y-Achse und lies die zweite Zahl ab. Beide Zahlen zusammen ergeben die Koordinaten des Punktes, geschrieben als P (x | y).
Was bedeuten die senkrechten Striche in der Schreibweise (3 | 4)?
Der senkrechte Strich trennt die x-Koordinate von der y-Koordinate und sorgt dafür, dass man die Zahl nicht mit einer anderen Zahl verwechselt, etwa (3 | 4) mit 34. Manche Bücher schreiben stattdessen ein Komma, also (3, 4), gemeint ist aber dasselbe: zuerst die x-Koordinate, dann die y-Koordinate.
Was passiert, wenn eine Koordinate negativ ist?
Negative Koordinaten führst du erst etwas später ein, meist in Klasse 6 oder 7. Eine negative x-Koordinate bedeutet, dass du vom Ursprung aus nach links statt nach rechts gehst, eine negative y-Koordinate bedeutet, du gehst nach unten statt nach oben. Damit entstehen vier Bereiche im Koordinatensystem, die Quadranten genannt werden.

Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.

Das solltest du vorher können

Das kommt als Nächstes