Rechnen mit Dezimalzahlen
In dieser Lektion lernst du, wie du Dezimalzahlen addierst, subtrahierst und multiplizierst. Du erfährst, warum beim Addieren das Komma unter dem Komma stehen muss und wie du beim Multiplizieren die Kommastelle findest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Mittel
Dezimalzahlen im Alltag
Beim Einkaufen begegnen dir ständig Dezimalzahlen: Ein Heft kostet 1,25 €, ein Stift 0,90 €. Um zu wissen, wie viel du bezahlen musst, rechnest du mit Kommazahlen. Das funktioniert fast wie mit ganzen Zahlen – du musst nur wissen, wo das Komma im Ergebnis hingehört. Dafür gibt es beim Addieren und beim Multiplizieren unterschiedliche Regeln, und genau deren Unterschied ist der Kern dieser Lektion.
Beim Addieren und Subtrahieren schreibst du die Zahlen so untereinander, dass Komma unter Komma steht. Dann stehen automatisch Zehntel unter Zehnteln und Hundertstel unter Hundertsteln. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf. Beim Multiplizieren rechnest du zuerst ohne Komma und setzt es danach: Das Ergebnis hat so viele Nachkommastellen wie beide Faktoren zusammen.
Warum gilt beim Multiplizieren diese Zählregel? Eine Dezimalzahl ist ein Bruch mit Nenner 10, 100 oder 1 000. 0,3 ist 3/10 und 0,2 ist 2/10. Beim Multiplizieren von Brüchen werden die Nenner multipliziert: 10 · 10 = 100. Aus Zehnteln mal Zehnteln werden also Hundertstel, und Hundertstel brauchen zwei Stellen hinter dem Komma. Die Zählregel ist damit nur eine Abkürzung der Bruchrechnung.
Wo kommt das Komma hin?
Die Regel für das Komma hängt von der Rechenart ab. Beim Plus und Minus orientierst du dich an der Stellung der Kommas, beim Mal zählst du die Nachkommastellen. Die beiden Regeln darfst du nicht vermischen: Beim Multiplizieren müssen die Kommas nicht untereinanderstehen, und beim Addieren zählst du keine Stellen zusammen.
Nullen am Ende des Ergebnisses zählen beim Multiplizieren mit. 1,5 · 4 ergibt ohne Komma 60, mit einer Nachkommastelle also 6,0. Diese Null darfst du erst streichen, nachdem du das Komma gesetzt hast, sonst verrutscht es. Fehlen dir Stellen, ergänzt du vorne Nullen: 0,02 · 0,3 ergibt ohne Komma 6, braucht aber drei Stellen, also 0,006.
Addieren und Subtrahieren
Komma unter Komma schreiben, stellenweise rechnen, das Komma im Ergebnis an dieselbe Stelle setzen.
Beispiele
- 2,5 + 1,25 = 3,75
- 4,8 - 1,35 = 3,45
- 0,7 + 0,4 = 1,1
Signalwörter
- Plus
- Minus
- Komma unter Komma
- mit Nullen auffüllen
Multiplizieren
Ohne Komma multiplizieren, dann so viele Nachkommastellen setzen wie beide Faktoren zusammen haben.
Beispiele
- 0,3 · 0,2 = 0,06
- 1,5 · 4 = 6,0
- 2,4 · 1,2 = 2,88
Signalwörter
- Mal
- Nachkommastellen zählen
- erst ohne Komma rechnen
| Aufgabe | Regel | Ergebnis |
|---|---|---|
| 2,5 + 1,25 | Komma unter Komma | 3,75 |
| 0,3 · 0,2 | Nachkommastellen zählen (1+1) | 0,06 |
| 1,5 · 4 | Nachkommastellen zählen (1+0) | 6,0 |
Beispiel 1: 2,4 · 1,2
Berechne 2,4 · 1,2.
Gegeben:
- 2,4 (1 Nachkommastelle)
- 1,2 (1 Nachkommastelle)
Gesucht:
ProduktLösung:
- Überschlag: 2 · 1 = 2, das Ergebnis muss etwas größer als 2 sein
- Ohne Komma rechnen: 24 · 12
- 24 · 10240 und 24 · 248
- 240 + 48288
- Nachkommastellen zählen: 1 + 12
- Komma 2 Stellen von rechts setzen: 2,88
2,4 · 1,2 = 2,88. Der Überschlag bestätigt das: 2 · 1 = 2, das Ergebnis liegt knapp darüber. Hättest du das Komma nur eine Stelle versetzt, stünde dort 28,8 – viel zu groß für zwei Zahlen, die kaum größer als 2 und 1 sind.
Beispiel 2: Addieren mit Übertrag
Berechne 4,75 + 3,8.
Gegeben:
- 4,75 (2 Nachkommastellen)
- 3,8 (1 Nachkommastelle)
Gesucht:
SummeLösung:
- Fehlende Stelle mit Null auffüllen: 3,8 wird zu 3,80, damit beide Zahlen zwei Nachkommastellen haben.
- Komma unter Komma schreiben: 4,75 + 3,80.
- Hundertstel addieren: 5 + 05.
- Zehntel addieren: 7 + 8 = 15, also 5 aufschreiben und 1 übertragen.
- Einer addieren: 4 + 3 + 1 (Übertrag)8.
4,75 + 3,8 = 8,55. Der Übertrag von den Zehnteln in die Einerstelle funktioniert genau wie bei ganzen Zahlen, nur dass er hier über das Komma hinweg wandert.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, die Regel vom Addieren aufs Multiplizieren zu übertragen und 0,3 · 0,2 = 0,6 zu rechnen. Richtig ist 0,06, denn ein Zehntel von zwei Zehnteln sind zwei Hundertstel, nicht sechs Zehntel. Prüfe bei jeder Multiplikation immer noch einmal, wie viele Nachkommastellen beide Faktoren zusammen haben.
Ein zweiter Fehler ist, beim Addieren die Zahlen rechtsbündig wie ganze Zahlen untereinanderzuschreiben, statt Komma unter Komma. Dann landen Zehntel unter Hundertsteln, und das Ergebnis stimmt nicht mehr. Fülle deshalb immer fehlende Nachkommastellen mit Nullen auf, bevor du addierst oder subtrahierst.
Ein dritter Fehler betrifft Nullen am Ende eines Multiplikationsergebnisses: Bei 1,5 · 4 = 6,0 wird die Null manchmal vorschnell gestrichen, bevor das Komma überhaupt richtig gesetzt wurde. Setze zuerst das Komma an der richtigen Stelle und entscheide erst danach, ob eine Endnull weggelassen werden kann.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe bei Additionsaufgaben die Zahlen immer sorgfältig mit Komma unter Komma auf, auch wenn es dir wie ein unnötiger Zwischenschritt vorkommt. Bei Kopfrechenaufgaben in der Klassenarbeit hilft es trotzdem, sich die Kommaposition kurz vorzustellen, bevor du das Ergebnis aufschreibst.
Nutze bei jeder Multiplikationsaufgabe einen kurzen Überschlag, indem du beide Zahlen auf einfache Werte rundest. Das dauert nur wenige Sekunden und zeigt dir zuverlässig, ob dein genaues Ergebnis in der richtigen Größenordnung liegt, oder ob das Komma versehentlich verrutscht ist.
Im Alltag begegnen dir Dezimalzahlen ständig beim Einkaufen, beim Tanken oder beim Ablesen von Messwerten wie Körpergröße oder Gewicht. Wer sicher mit Kommazahlen rechnet, kann Preise vergleichen, Rezepte umrechnen oder Rabatte im Kopf überschlagen, ohne jedes Mal den Taschenrechner zu benötigen.
Jetzt bist du dran!
Berechne 3,6 + 2,45.
Das Wichtigste in Kürze
- Beim Addieren und Subtrahieren steht Komma unter Komma.
- Fehlende Nachkommastellen füllst du mit Nullen auf.
- Beim Multiplizieren erst ohne Komma rechnen, dann Nachkommastellen zählen.
- 0,3 · 0,2 ist 0,06 und nicht 0,6.
- Ein Überschlag zeigt dir, ob das Komma an der richtigen Stelle sitzt.
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Häufige Fragen zu Rechnen mit Dezimalzahlen
- Wie addiert man Dezimalzahlen schriftlich?
- Schreibe die Zahlen so untereinander, dass alle Kommas genau untereinanderstehen. Fülle fehlende Nachkommastellen mit Nullen auf, damit jede Zahl gleich viele Stellen hat. Dann rechnest du von rechts nach links wie bei ganzen Zahlen, inklusive Übertrag. Das Komma im Ergebnis setzt du an dieselbe Stelle wie in den Zahlen darüber.
- Wo kommt beim Multiplizieren von Dezimalzahlen das Komma hin?
- Rechne zuerst, als gäbe es kein Komma. Zähle dann die Nachkommastellen beider Faktoren zusammen und setze das Komma im Ergebnis entsprechend viele Stellen von rechts. Bei 1,25 · 0,4 sind das 2 + 1 = 3 Stellen: 125 · 4 = 500, also 0,500 = 0,5. Ein Überschlag hilft, das Ergebnis zu prüfen.
- Warum ist 0,5 · 0,5 kleiner als 0,5?
- Weil du die Hälfte von einer Hälfte nimmst, und das ist ein Viertel, also 0,25. Multiplizierst du eine Zahl mit etwas, das kleiner als 1 ist, wird das Ergebnis kleiner. Das gilt für alle Dezimalzahlen zwischen 0 und 1. Wer das weiß, erkennt sofort, dass 0,5 · 0,5 = 2,5 nicht stimmen kann.
- Wie mache ich einen Überschlag bei Dezimalzahlen?
- Runde jede Zahl auf eine einfache Zahl, meist auf Ganze, und rechne damit im Kopf. Aus 4,87 · 2,1 wird 5 · 2 = 10. Das genaue Ergebnis 10,227 liegt in der Nähe, also sitzt das Komma richtig. Liegt dein Ergebnis beim Zehnfachen oder einem Zehntel des Überschlags, ist das Komma verrutscht.
- Wie multipliziere ich eine Dezimalzahl mit 10, 100 oder 1 000?
- Du verschiebst das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Stufenzahl Nullen hat. 3,47 · 10 = 34,7 und 3,47 · 100 = 347. Fehlen Stellen, hängst du Nullen an: 3,47 · 1 000 = 3 470. Beim Teilen durch 10, 100 oder 1 000 wandert das Komma entsprechend nach links, etwa 3,47 : 100 = 0,0347.
- Wie subtrahiert man Dezimalzahlen mit unterschiedlich vielen Nachkommastellen?
- Fülle zuerst die Zahl mit weniger Nachkommastellen mit Nullen auf, bis beide Zahlen gleich viele Stellen haben. Aus 5,4 − 2,35 wird so 5,40 − 2,35. Schreibe die Zahlen mit Komma unter Komma und subtrahiere wie bei ganzen Zahlen von rechts nach links, inklusive Übertrag beim Leihen. Das Ergebnis ist 3,05.
- Warum verschiebt sich das Komma beim Malnehmen mit 10, 100 oder 1000?
- Weil jede Stelle im Zehnersystem den zehnfachen Wert der Stelle rechts von ihr hat. Multiplizierst du mit 10, rückt jede Ziffer eine Stelle nach links, was einer Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach rechts entspricht. Bei 100 sind es zwei Stellen, bei 1000 drei Stellen, jeweils passend zur Anzahl der Nullen in der Stufenzahl.
- Wie überprüfe ich, ob mein Ergebnis beim Rechnen mit Dezimalzahlen stimmt?
- Runde beide Zahlen auf einfache, gut im Kopf rechenbare Werte und vergleiche das grobe Ergebnis mit deinem genauen. Weicht dein Ergebnis um den Faktor 10 oder mehr ab, hast du wahrscheinlich das Komma an der falschen Stelle gesetzt. Zusätzlich kannst du bei Multiplikationen die Anzahl der Nachkommastellen im Ergebnis noch einmal separat zählen und mit deinem Ergebnis vergleichen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Dezimalzahlen verstehen und umrechnen
- Schriftlich multiplizierenin Arbeit
Das kommt als Nächstes
- Volumen berechnen
- Dezimalzahlen dividierenin Arbeit